by この記事では，数3で習う 分数関数の微分公式 （商の微分公式）について整理しました。2通りの証明方法と例題を解説し.. 積の微分の公式 関数 f(x) f (x) と g(x) g (x) が区間 A A において 微分可能 であるとき、 積 f(x)g(x) f (x) g (x) もまたその区間で微分可能であり、 が成り立つ。
微分積分学における商の法則（しょうのほうそく、英: quotient rule）は二つの可微分函数の比（商）となっている函数の導函数の計算を述べるものである。
主張
具体的に g, h はともに可微分で h(x) ≠ 0 として f(x) = g(x)/h(x) と書けば、この商 f の微分は
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
′
(
x
)
[
h
(
x
)
]
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}
で与えられる。
例
- f(x) ≔ tan(x) = sin(x)/cos(x) の導函数を求めるのに商の法則が利用できる:
d
d
xtan
x=
d
d
xsin
xcos
x=
(
d
d
xsin
x
)
(
cos
x
)
−
(
sin
x
)
(d
d
xcos
x
)cos
2
x=
cos
2
x
+sin
2
xcos
2
x=
1
cos
2
x=
sec
2
x
.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\\&={\frac {({\frac {d}{dx}}\sin x)(\cos x)-(\sin x)({\frac {d}{dx}}\cos x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}
高階版
陰函数微分を用いれば、商の n-階微分も（(n −1)-階までの導函数を用いて）計算することができる。例えば、f⋅h = g を両辺二回微分して f″ について解けば
f
″
=
(
g
h
)
″
=
g
″
−
2
f
′
h
′
−
f
h
″
h
{\displaystyle f”=\left({\frac {g}{h}}\right)”={\frac {g”-2f’h’-fh”}{h}}}
を得る。
関連項目
- 微分積分学の基本定理
- 解析学
- 積の微分法則
参考文献
商の微分公式【1分数学】 ニコニコ動画
解析概論 高木貞治著 第2章 微分法 14. 微分の方法 積・商の微分 導関数公式 関数の連続と微分可能性 YouTube
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B! ここでは、商の微分の公式を 微分の定義 に従って導出します。 公式の形も導出の過程も複雑ですが、頻出の知識ですのでしっかり身につけておきましょう。 商の微分の公式 {f (x) g (x)} ‘ = f ′ (x) g (x) − f (x) g ′ (x) {g (x)} 2. こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。この記事のトピックは「微分係数と微分可能性の関係」です。商の微分公式とは数学Ⅲの微分をやる時に避けては通れない微分公式の一つ。それが商の微分公式です。なぜならこの微分.
